Теория управления

 

Теория оптимального управления занимается процессами, на которые можно воздействовать или, другими словами, которыми можно управлять. Основная задача теории – разработка методов определения управления, при котором получается наилучший в том или ином смысле результат. Подобные задачи возникают при управлении экономикой, технологическими процессами, летающими аппаратами, роботами и т. п.

Курс состоит из двух разделов. В первом разделе излагаются классические результаты вариационного исчисления. Для разных типов задач вариационного исчисления рассматриваются необходимые условия экстремума. Теоретические результаты иллюстрируются примерами. Помимо аналитических методов решения вариационных задач, рассматривается применение численных методов. Во втором разделе излагаются основы теории оптимального управления в линейных и нелинейных системах и ее центральный результат – принцип максимума Понтрягина. Рассматривается ряд примеров применения принципа максимума для построения оптимальных решений, а также численные методы решения задач управления. Внимание уделяется выявлению связи вариационного исчисления и теории оптимального управления.

Курс опирается на такие базовые курсы, как “Математический анализ”, “Дифференциальные уравнения”, “Линейная алгебра”, “Аналитическая геометрия”. Умения и навыки, полученные в данном курсе, студенты смогут применять при решении задач теории игр, математической экономики и т. д.

 

 

Программа курса

 

Часть I. Вариационное исчисление

1. Задачи, приводящие к вариационным проблемам (задача Дидоны, задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях).

2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера. Част­ные случаи уравнения Эйлера.

3. Функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций. Система уравнений Эйлера.

4. Функционалы, зависящие от производных высшего порядка одной неизвестной функции. Уравнение Эйлера-Пуассона.

5. Вариационные задачи с подвижными концами. Условия трансверсальности.

6. Вариационные задачи на условный экстремум (случаи конечных, дифференциальных и интегральных связей).

 

Часть II. Теория управления

7. Постановка задачи оптимального управления. Примеры задач (задача о мягком прилунении космического корабля, задача об оптимальном планиро­вании поставок продукции, задача об оптимальном планировании инвести­ций).

8. Простейшая задача терминального управления. Принцип максимума Понт­рягина. Использование принципа максимума для проверки управлений на оптимальность. Дифференциальный принцип максимума. Свойства функции Гамильтона вдоль экстремальных управлений. Примеры использования принципа максимума.

9. Численные методы решения задач оптимального управления: методы игольчатой линеаризации, метод условного градиента и метод проекции градиента.

10. Задача терминального управления с нефиксированной продолжительно­стью.

11. Задача быстродействия (тележка, маятник, перевернутый маятник, нели­нейная задача).

12. Оптимальное управление в линейных системах. Множество достижимо­сти. Экстремальные траектории. Управляемость и наблюдаемость.

13. Линейные задачи с квадратичным функционалом. Сведение к линейной краевой задаче. Метод переноса граничных условий. Метод Абрамова. Сведе­ние к трансцендентному уравнению.

 

 

 

Преподаватели: доцент, кандидат ф.-м. наук Наталия Викторовна Скрипник,

ст. преподаватель, Алексей Павлович Огуленко.

Учебные материалы

1. Список литературы. (Пункт 4 списка литературы см. gen.lib.rus.ec)

 

2. Методические указания по вариационному исчислению.

 

3. Методические указания по вариационному исчислению (доп. разделы).

 

4. Конспект лекций по теории управления.

 

Баллы, IV курс (нажмите, чтобы открыть)

Баллы, III курс (нажмите, чтобы открыть)

 

Задания (нажмите, чтобы открыть)